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標題:
今天在學校跟同學討論了一題很怪的數學
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作者:
aaa6785904
時間:
2014-3-10 09:52 PM
標題:
今天在學校跟同學討論了一題很怪的數學
今天我同學突然問了我一題數學 她問我說 1跟0.99999999999 ... 哪個比較大 我很快的回他說妳是白癡嗎? 想也知道是１ 但她就跟我說 兩個一樣大 她跟我解釋說 0.999...是0.3...的3倍 0.3333是三分之一 三分之一乘上三就是1 所以他說兩個一樣大 我覺得很怪 我覺得0.3333是接近三分之一沒錯 但她也是比三分之一小 所以一還是比較大 我又跟他說 不然妳把1和0.99999999 兩者一起平方好了 妳就會發現有差距了因為一樣的數字平方後還是會一樣 但她們不一樣 平方後1就比較大了 她沒說什麼回應 所以我們決定問我們數學老師 我們老師是說 0.99999就是9分之9 所以真的是1 我有點傻眼 所以我想請教一下各位數學高手 到底1和0.9999的循環哪個比較大 還是一樣
作者:
bjl1212
時間:
2014-3-11 07:25 PM
0.9 的循環小數是個符號，不是數字，因為寫不完(無窮個9)
作者:
楊雨浩
時間:
2014-3-11 09:37 PM
有看沒有懂哈哈或許該換個簡單說法
作者:
poax94
時間:
2014-3-14 09:53 PM
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作者:
sttpewr
時間:
2014-3-19 06:31 PM
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作者:
leoo88556
時間:
2014-3-21 05:02 AM
本帖最後由 leoo88556 於 2014-3-21 05:05 AM 編輯
以前小時候也覺得這很神奇的說
，
若是沒學過極限嚴格的定義可以試著這樣想:
拿一張紙
撕下
十分之一
再撕下那
十分之一
的十分之一
再撕下那
百分之一
的十分之一...
就這樣一直撕下去撕無限多次，你會發現你永遠都有一張紙不多不少，但是你所擁有的紙屑就是0.9+0.09+0.009+...
只要有"無限"的幫助，你手上剩下的那最小的0.000....01小紙片就一點都不重要(因為你永遠不能停下來)，唯一重要的是你進行的反覆動作所創造的"趨勢"，希望這有所幫助。
作者:
s114070
時間:
2014-3-21 08:01 PM
這是一種趨近，但不等於1，一種趨近概念，一個完整水果跟一個趨近完整的水果，兩者沒有多大的差別，只是一個完整版，一個趨近完整版，都是完整版
作者:
black148
時間:
2014-3-21 09:44 PM
一樣大阿~~
如果沒有學過極限，可以這樣做：
4/9=0.44444444444...
5/9=0.55555555555...
上下兩式相加：
1=9/9=0.99999999999999...
所以是一樣的~~
作者:
ashechen
時間:
2014-3-22 09:52 AM
理論上就是1比較大
所以0.99999....才叫趨近1,不等於1
這就像統計中的最或是值...
因為計算能找到被定義的最接近真值
所以被拿來當基準...
作者:
dxut619
時間:
2014-3-22 11:34 AM
在我學過的印象中，
應該是一樣大的，
你可能覺得把兩個相減，
照理說不是1會多0.000000....1，
問題是無窮循環中，
你永遠看不到那個1。
作者:
xyz73524
時間:
2014-3-22 03:50 PM
本帖最後由 xyz73524 於 2014-3-22 03:53 PM 編輯
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作者:
鍾17
時間:
2024-1-31 09:17 AM
上面已經證明過0.9999999999=1真的是證明的太漂亮了。
一張A4紙，被風吹了一下多了一個分子還是一張紙，少了一個分子還是一張紙。
作者:
chhung
時間:
2024-2-2 10:31 PM
由實數的完備性知道，
0.9循環和1之間找不到另一個實數，
因此兩數相等。
作者:
chefchandanny
時間:
2024-10-29 01:37 PM
本帖最後由 chefchandanny 於 2024-10-29 01:37 PM 編輯
你提出的問題是一個經典的數學話題——
0.999...（無窮小數）是否等於1
？這個問題在數學中有嚴格的證明，答案是：
0.999...和1確實相等
。
為什麼0.999...等於1？
讓我們用幾種不同的方法來理解這個結果。
方法一：分數的觀點
像你的同學說的那樣，我們可以從分數的角度來理解：
假設 x=0.333...x = 0.333...x=0.333...，也就是說這是一個無窮小數，表示為 13\frac{1}{3}31。
那麼， 3×x=3×0.333...=0.999...3 \times x = 3 \times 0.333... = 0.999...3×x=3×0.333...=0.999...。
另一方面， 3×13=13 \times \frac{1}{3} = 13×31=1。
所以，0.999...=10.999... = 10.999...=1。
方法二：代數證明
我們可以從代數的角度用簡單的方程來證明這個結果：
假設 x=0.999...x = 0.999...x=0.999...。
將兩邊同時乘以10，得到 10x=9.999...10x = 9.999...10x=9.999...。
現在，從 10x=9.999...10x = 9.999...10x=9.999... 中減去 x=0.999...x = 0.999...x=0.999...：10x−x=9.999...−0.999...10x - x = 9.999... - 0.999...10x−x=9.999...−0.999...
這樣得到 9x=99x = 99x=9。
解這個方程得出 x=1x = 1x=1，所以 0.999...=10.999... = 10.999...=1。
方法三：極限的觀點
在數學上，0.999...這個無窮小數可以看作是一個
極限
：
我們可以寫出一系列的數字，比如：0.9、0.99、0.999、0.9999...
這個數列 0.9,0.99,0.999,…0.9, 0.99, 0.999, \dots0.9,0.99,0.999,… 越來越接近1。這個過程在數學上稱為「趨近於1」，並且在無窮的情況下，這個數列的極限值就是1。
因此，數學上定義 0.999...0.999...0.999... 就等於1。
錯覺的來源：為什麼我們會覺得0.999...比1小？
直觀上，我們可能會認為0.999...只是一個「接近1」的數，而不是「等於1」。這是因為無窮小數的表示法容易讓人誤以為它只是無限接近，而不是真正等於。但是，從嚴格的數學定義來看，0.999...和1實際上是完全相同的數字。
回應你的問題：平方是否會影響大小關係？
不會的
。因為0.999...就是1，平方後還是等於1。任何數字跟自身相等，平方後的結果也是相同的數字（例如 (1)2=1(1)^2 = 1(1)2=1， (0.999...)2=(1)2=1(0.999...)^2 = (1)^2 = 1(0.999...)2=(1)2=1）。
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